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title: "下落的水滴"
url: https://lingming.blog/labs/falling-drop/
date: 2026-09-12
lastmod: 2026-09-12
tags: ["流体力学","雨滴","韦伯数"]
description: "一滴水从高空落下：空气里会压扁并达到终端速度，真空里一直加速却还是球形。对照泪滴漫画，看韦伯数如何决定外形。"
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# 下落的水滴


## 如何使用

画面中央是一滴水，它不往下飞出屏幕——相机跟在它身上。空气从下面迎上来，底面颜色越暖，滞止气压越高。右边那条带子是高度：地面在下，释放点在上。若从 1 km 释放，带子下段会把 0–20 m 拉宽，因为真正在加速、变形的就是那几米。

四种对照：

1. **空气**（默认，4 mm，100 m）。从静止释放，看速度爬升、韦伯数上升、外形从球变成汉堡包，然后弯向终端速度。
2. **真空**。同一滴水一直加速，韦伯数为 0，轮廓几乎不离球。空气才是压扁的原因。
3. **改直径**。小滴终端慢、几乎是圆的；大滴更扁、终端更快；拨到 8 mm，空气里会袋状破碎。
4. **漫画泪滴**。打开叠层，尖尾巴对不上任何一帧物理轮廓。

暂停后可用「前进一步」推进 0.5 秒物理时间。倍速只缩短等待，读数表报的始终是物理时间。系统若设置了减少动效，页面会默认暂停。画布是示意图，读数表才是数字的来源。

## 它展示了什么

天气预报图标上的雨滴几乎都有一个尖尾巴。那个剪影来自挂在水龙头上的液滴，不是从云里掉下来的东西。1954 年 McDonald 专门写过这篇更正：下落中的雨滴没有拖在后面的尖角。

决定外形的是两股力。表面张力要把液体收成球；迎面气流在底面堆起大约「二分之一 ρ v²」的滞止压力，要把球压扁。两者的比是韦伯数 We = ρ v² D / σ（ρ 取空气密度，σ 是表面张力）。速度为零时它是零，水滴是圆的；加速之后它变大，底面先变平，再凹陷，再大就会袋状破裂。邦德数量的是等效重力对表面张力，终端时它才明显，而且比韦伯数次要。

另一件反直觉的事是：**有空气时，它几乎不一直加速。** 毫米级水滴的终端速度大约每秒几米到九米，特征距离（终端速度的平方除以 g）只有几米到十几米。从一千米的云里落下，绝大部分时间都在用同一个外形巡航。掉得更高不会让它更快，也不会让它更扁；想换外形，得换尺寸。真空里没有这道天花板，速度按自由落体增长，但没有气流，它仍然是圆的。

大滴也快不到哪里去。韦伯数过了大约 12，袋子会胀破，换成几颗更小、更圆的水滴。雨滴因此有尺寸上限，不是越坠越大。

## 这个模型的边界

**这不是三维 Navier–Stokes，也不是 SPH。** 下落是一条常微分方程，外形是轴对称母线的准平衡傅里叶级数，系数跟当前韦伯数和邦德数走。它故意做成三维雨滴的子午截面，而不是二维液柱——二维破碎和雨滴不是一回事。

**系数是简化的 Young–Laplace 替身，不是 Beard–Chuang 的完整积分。** 终端速度对准 Gunn 与 Kinzer 的量级，允许大约两成偏差。不要用它预报真实降水。

**袋状破碎是示意。** 一滴换成五颗等体积的小球，体积守恒，韦伯数降到临界下。没有液膜，没有雾，没有碰并。

**没有蒸发、电荷、冰晶、振荡。** 真实雨滴会以几赫兹的本征模晃动；这一页把松弛做成一阶滞后，只为了让压扁被看见，不是在做模态分析。

**皮米级的格子不在这里。** 毫米和米每秒就是 SI 单位。随体画布把千米坠落和毫米水滴拆开画，同一把尺子会把水滴画没——太阳系那一页已经演示过这件事。

## 延伸阅读

- McDonald, J. E. (1954). The shape of raindrops. *Scientific American* 190(2), 64–68
- Beard, K. V. & Chuang, C. (1987). A new model for the equilibrium shape of raindrops. *Journal of the Atmospheric Sciences* 44, 1509–1524
- Gunn, R. & Kinzer, G. D. (1949). The terminal velocity of fall for water droplets in stagnant air. *Journal of Meteorology* 6, 243–248
- Pruppacher, H. R. & Klett, J. D. *Microphysics of Clouds and Precipitation*
- 站内：[真实比例的太阳系](/labs/solar-system-true-scale/) — 同一类尺度问题：对象和对它运动的距离不能画在同一把尺子上